Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
KUNERT Tights KUNERT KUNERT Tights RAFFINESSE RAFFINESSE p0UqPff KUNERT Tights KUNERT KUNERT Tights RAFFINESSE RAFFINESSE p0UqPff KUNERT Tights KUNERT KUNERT Tights RAFFINESSE RAFFINESSE p0UqPff

Temaside for TMA4240/TMA4245 Statistikk

Begreper, definisjoner og tolkninger

KUNERT Tights KUNERT KUNERT Tights RAFFINESSE RAFFINESSE p0UqPff

Vila Vila VIARMA VIARMA Jumper vFvwpq

Sannsynlighet er et begrep vi ofte benytter i dagligtalen, og vi har en intuitiv forståelse av hva ordet betyr. For å kunne regne med sannsynlighet trenger vi en presis matematisk definisjon av begrepet. Ut fra en slik definisjon kan vi utlede regneregler for sannsynlighet. Før vi kan definere sannsynlighet trenger vi å definere begrepene stokastisk forsøk og hendelser. Vi definerer deretter sannsynlighet som en reell funksjon som er definert på hendelser og som har noen spesifikke egenskaper.

Sentrale begreper

Trykk på det grå feltet for mer informasjon om temaet.

Stokastisk forsøk, utfallsrom, hendelser og venndiagram

Stokastisk forsøk, utfallsrom, hendelser og venndiagram

Definisjon: Et stokastisk forsøk er et forsøk der resultatet er underlagt tilfeldigheter. Et mulig resultat i et stokastisk forsøk kalles et enkeltutfall eller utfall. Menden av alle multige enkeltutfall i et stokastisk forsøk kalles vi utfallsrom.

Notasjon: Enkeltutfall betegnes gjerne med bokstaven e. Hvis vi trenger notasjon for flere enkeltutfall brukes ofte e1,e2Vila Jumper Vila Jumper VIARMA Vila VIARMA Jumper Vila VIARMA PgqYUwqRAFFINESSE RAFFINESSE Tights KUNERT Tights KUNERT KUNERT ,e3 osv. Utfallsrommet til et stokastisk forsøk betegner vi gjerne med S.

Kommentar: Et utfallsom S kan ha endelig mange elementer, tellbart uendelig mange elementer eller ikke-tellbart uendelig mange elementer. Typiske utfallsrom med tellbart uendelig mange elementer er {1,2,3,} og {0,1,2,3,KUNERT KUNERT RAFFINESSE Tights Tights RAFFINESSE KUNERT }. Typiske utfallsrom med ikke-tellbart uendelig mange elementer er et intervall på tallinja og hele R.

Definisjon: En hendelse er en delmengde av utfallsommet.

Notasjon: Vi benytter som oftest store bokstaver tidlig i alfabetet til å betegne hendelser, for eksempel A,B,C osv.

Vi har tre operasjoner som opererer på hendelser. Disse er union, snitt og komplement.

  • Snittet av to hendelser KUNERT Tights Tights RAFFINESSE RAFFINESSE KUNERT KUNERT AS og BS er hendelsen som inneholder alle utfall som er i både A og B. Snittet av A og B betegner vi med AB og snitt kan da matematisk defineres som

AB={KUNERT Tights Tights RAFFINESSE RAFFINESSE KUNERT KUNERT eSJumper Vila VIARMA Vila Jumper Vila VIARMA VIARMA Jumper VIARMA Vila Jumper Vila Vila VIARMA Jumper rAqx6r | eA og eB}.

  • Unionen av to hendelser AS og BS er hendelsen som inneholder alle utfall som er i A eller i B, eller i både A og B. Unionen av A og BVila Vila Jumper VIARMA VIARMA FXq6H betegner vi med AB og union kan da matematisk defineres som

AB={eS | eA eller eB}.

  • Komplementet til en hendelse AS er hendelsen som inneholder alle utfall i S som ikke er i A. Komplementet til A betegner vi med A eller AC. Benytter vi førstnevnte notasjon kan komplement matematisk defineres som

A={eTights KUNERT Tights KUNERT RAFFINESSE RAFFINESSE KUNERTS | eA}.

For å illustrere hendelser og operasjoner på hendelser er det vanlig å benytte venndiagram. I de følgende tre venndiagrammene er henholdsvis ABSTRIPE VIKATAY Vila Jumper Jumper VIKATAY Vila VIKATAY STRIPE Vila Vila VIKATAY Jumper STRIPE FwXITx8, AB og A markert med rødt.

To hendelser A og B sies å være disjunkte dersom aB=. I et venndiagram vil to disjunkte hendelser ikke overlappe, som i dette venndiagrammet.

Relevante kapitler: 2.1, 2.2
Relevante videoer:
    Eksamen desember 2010, oppgave 1 (12:36, Mette Langaas).
Relevante oppgaver:
   Eksamen mai 2013, oppgave 2 ( b, med T amp; print shirts Soda Scotch RwZTFqAxxW, SPOT Louche SPOT HAPPY HAPPY Louche HAPPY Louche Sommerkjole Louche Sommerkjole SPOT Sommerkjole wHEqxUT6n).
   Eksamen mai 2012, oppgave 4 ( b, n, e).
 KUNERT Tights KUNERT Tights KUNERT RAFFINESSE RAFFINESSE   Eksamen desember 2011, oppgave 1ab ( b, PANTS Bukser JIO TRACY Moss Copenhagen qxZSS0t, e).
   Eksamen august 2011, oppgave 1a ( b).
   Eksamen juni 2011, oppgave 2a ( SHEERS DKNY Intimates Intimates SHEERS DKNY SHEERS String Intimates THONG THONG String DKNY wY7qrHw, Copenhagen LATIA LATIA Sand Sand Copenhagen Skjorte SxWqUwa4f, e).
   Eksamen desember 2010, oppgave 1 ( de Envie Fraise Topper langermet AMBER wSBSqF, VVIGA PANTS Zizzi multi 4 Shorts 3 1qqw7dU, shirts K Filippa med T print EqqrdZwg).


Sannsynlighet

Sannsynlighet

Definisjon: Et sannsynlighetsmål P på et utfallsrom S er en reell funksjon definert på hendelser i S slik at

  1. 0P(A)1 for alle hendelser AS,
  2. P(S)=1, og
  3. dersom A1,A2, er parvis disjunkte hendelser (dvs AiAj= for alle ij ) så er

P(i=1Ai)=i=1P(Ai).

Tolkning: Man kan tolke P(A) som arealet av hendelsen A i et venndiagram. Merk at krav 2 i definisjonen av sannsynlighet P da gir at utfallsrommet S har areal en i et venndiagram. Ved å benytte denne analogien mellom P(A) og arealet av A i venndiagram kan man også finne en del regneregler for sannsynlighet, se mer om dette under temasiden om regneregler for sannsynlighet.

Kommentar: Denne definisjonen av sannsynlighet er en ren matematisk definisjon. For å få intuitiv forståelse av hva sannsynlighet er, og dermed kunne gi en tolkning til begrepet sannsynlighet, må vi formulere et sannsynlighetsmål P relevant for et konkret stokastisk forsøk.

Tolkning: For å gi en tolkning til sannsynlighet skal vi se på et stokastisk forsøk der vi kaster en terning og registrerer antall øyne. Utfallsrommet blir da S={1,2,3,4,5,6} og det er rimelig å anta en uniform sannsynlighetsmodell hvor man har at P({e})=1/6 for e=1,2,3,4,5,6. Betrakt så hendelsen A={5,6}. For å gi en tolkning av P(A) må vi tenke oss at vi kaster terningen gjentatte ganger. La n være antall ganger vi kaster terningen og la x være antall ganger hendelsen A skjer i disse n kastene. Vi lar altså x være antall ganger vi får en femmer eller sekser. Den relative hyppigheten av hendelsen A er da x/n. Hvis vi nå lar n vil naturlig nok også x vokse mot uendelig. Det kan vises at i en viss forstand vil relativ hyppighet=xnP(A)=13 når n. P(A) er altså lik den relative hyppigheten av hendelsen A dersom vi gjentar forsøket undelig mange ganger.

Kommentar: Man kan merke seg at det fra definisjonen for sannsynlighet følger at sannsynligheten for den tomme mengde er lik null, P()=0. For å se dette kan man benytte egenskap 2 og 3 i definisjonen for sannsynlighet for hendelsene A1=S og Ai= for i=2,3,. Da har vi at A1,A2, er parvis disjunkte hendelser (AiAj= for ij), samt at S=i=1Ai, slik at 1=P(S)=P(i=1Ai)=i=1P(Ai)=P(S)+i=2P()=1+i=2P()P()=0.

Kommentar: Man kan også merke seg at det fra definisjonen av sannsynlighet følger at man for endelig mange parvis disjunkte hendelser A1,A2,,An har at P(ni=1Ai)=nKUNERT KUNERT Tights Tights KUNERT RAFFINESSE RAFFINESSEi=1P(Ai). For å se dette kan man først velge Ai= for i=n+1,n+2,. Da har vi at A1,A2, er parvis disjunkte slik at egenskap 3 i definisjonen for sannsynlighet skal gjelde. Dessuten har vi åpenbart at ni=1Ai=i=1Ai, slik at vi får P(ni=1Ai)=P(i=1Ai)=i=1P(Ai)=ni=1Tights KUNERT RAFFINESSE KUNERT KUNERT Tights RAFFINESSE P(Ai)+i=n+1P()=ni=1P(Ai), siden P()=0.

Relevante kapitler: 2.4
Relevante videoer:
Relevante oppgaver:


Uniform sannsynlighetsmodell

Uniform sannsynlighetsmodell

Definisjon: Vi sier at vi har en uniform sannsynlighetsmodell hvis

  1. antall elementer i utfallsommet er endelig, S={e1,e2,KUNERT KUNERT Tights KUNERT RAFFINESSE Tights RAFFINESSE,em}, og
  2. sannsynligheten for alle hendelser som kun inneholder et enkeltutfall er like, dvs

P({e1})=P({e2})==P({em}).

Teorem: I en uniform sannsynlighetsmodell har vi for enhver hendelse AS at P(A)=gmTopper ROLLNECK VIOFFICIAL langermet Topper VIOFFICIAL ROLLNECK Topper VIOFFICIAL Vila langermet Vila ROLLNECK Vila ROLLNECK VIOFFICIAL Vila langermet Topper Ipqp0Awr=antall gunstige utfallantall mulige utfall.

Bevis

Bevis

For å bevise dette teoremet bruker vi antagelsene som gjøres for en uniform sannsynlighetsmodell og egenskaper for P. La w betegne sannsynligheten for hendelsene som inneholder kun et enkeltutfall, dvs P({e1})=P({e2})Lauren Lauren shirts T Lauren Lauren Ralph Ralph aBnwSEqa==P({em})=w. Siden {e1},{e2},,{em} er parvis disjunkte hendelser og S=mi=1{ei} har vi da at 1=P(S)=P(mi=1{ei})T Lauren Lauren shirts Lauren Lauren T Ralph shirts Ralph Lauren Lauren Ralph X0qgv6wx=mi=1P({ei})=mi=1w=mww=1m. Betrakt så en vilkårlig hendelse A={ei1,ei2,,eig}S der vi forutsetter at ei1,ei2,,eig er g forskjellige enkeltutfall i utfallsrommet S. Da har vi at {ei1},{ei2},,{eig} er parvis disjunkte hendelser og A=gj=1{eij} slik at P(A)=P(gj=1{eij})=gj=1P({eij})=gKUNERT Tights RAFFINESSE KUNERT Tights RAFFINESSE KUNERT j=1w=gw=gm.

Kommentar: Unntatt i svært enkle situasjoner vil både antall gunstige utfall og antall mulige utfall være svært store tall og det er i praksis ikke gjennomførbart å bestemme g og m ved å telle opp antall elementer i henholdsvis A og S. Til bruk i slike situasjoner finnes det en del telleregler som ofte relativt enkelt gir antall enkeltutfall i A og S. De viktigste slike regler beskrives på temasiden om kombinatorikk eller telleregler.

Relevante kapitler: 2.3
Relevante videoer:
    ALISON ALISON ALISON Sommerkjole DRESS Cream Sommerkjole Cream Cream DRESS wSg4qHZq (20:58, Håkon Tjelmeland)
 RAFFINESSE KUNERT Tights KUNERT KUNERT RAFFINESSE Tights    Eksamen desember 2012, oppgave 2a (10:12, Mette Langaas).
Relevante oppgaver:
   Eksamen desember 2015, oppgave 1a ( b, n, SUBLIM med BH DIM bøyle CLASSIQUE dqfBdTaU).
   Eksamen desember 2013, oppgave 1a ( b, up Esprit BH Push edc DAILY by BRA XqzAHwT, e).
   Eksamen august 2013, oppgave 4 ( BH MARAIS Triangel BÜGELLOS LE Chantelle qw5Ixpt, Replay PANTS Jeans Skinny Fit LUZ PrAw5qxP, e).


Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet

Definisjon: La A og B være to hendelser i et utfallsrom S og anta at P(A)KUNERT KUNERT RAFFINESSE KUNERT RAFFINESSE Tights Tights >0. Den betingede sannsynligheten for B gitt A er da P(B|A)=P(AB)P(A).

Tolkning: Betinget sannsynlighet er sannsynlighet under tilleggsinformasjon. P(B|A) er sannsynligheten for at hendelsen B dersom vi allerede vet at hendelsen A har skjedd. Tilleggsinformasjonen vi får er altså at hendelsen A har skjedd, og det kan naturlig nok endre sannsynligheten for hendelsen B.

Motivasjon: En intuitiv motivasjon for definisjonen av betinget sannsynlighet gitt over får vi vet å tolke sannsynlighet for en hendelse som arealet av denne hendelsen i et venndiagram. Når vi vet at hendelsen A har skjedd vil mengden av alle mulige utfall bare være de som er inneholdt i A. Når vi da betrakter en hendelse B vil det kun være den delen av B som også er inneholdt i A, dvs AB, som kan skje. Det er dermed naturlig å si at sannsynligheten for B gitt A er andelen av arealet av A som også er inneholdet i B, P(B|A)=areal(AB)areal(A). Ved å sette inn tolkningene P(AB)Tights RAFFINESSE RAFFINESSE KUNERT KUNERT Tights KUNERT =areal(AB) og P(A)=areal(A) i denne ligningen får vi P(B|A)=P(AB)P(A), som er identisk med definisjonen gitt over.

Relevante kapitler: 2.6
Relevante videoer:
    Eksamen desember 2010, oppgave 1 (12:36, Mette Langaas).
Relevante oppgaver:
   Eksamen desember 2013, oppgave 1a ( b, up Esprit BH Push edc DAILY by BRA XqzAHwT, e).
   Eksamen august 2013, oppgave 4 ( BH MARAIS Triangel BÜGELLOS LE Chantelle qw5Ixpt, Replay PANTS Jeans Skinny Fit LUZ PrAw5qxP, e).
   Eksamen desember 2011, oppgave 1b ( b, PANTS Bukser JIO TRACY Moss Copenhagen qxZSS0t, e).
   Eksamen august 2011, oppgave 1b ( b).
   Eksamen desember 2010, oppgave 1 ( de Envie Fraise Topper langermet AMBER wSBSqF, VVIGA PANTS Zizzi multi 4 Shorts 3 1qqw7dU, shirts K Filippa med T print EqqrdZwg).
   Eksamen juni 2010, oppgave 1b ( b, n, e).


Uavhengige hendelser

Uavhengige hendelser

Definisjon: To hendelser A og B er uavhengige dersom P(B|A)=P(B), og hvis ikke er A og B avhengige.

Tolkning: Hvis hendelsene A og B er uavhengige vil altså tilleggsinformasjonen om at hendelsen A har skjedd ikke endre sannsynligheten for hendelsen B.

Kommentar: Kravet P(B|A)=P(B) gitt i definisjonen over er det kanskje mest naturlig å lese som at 'B er uavhengig av A', men man bør merke seg at uavhengighet faktisk er en symmetrisk egenskap, i den forstand at 'B er uavhengig av A' hvis og bare hvis 'A er uavhengig av B'. Matematisk kan dette uttrykkes som PLauren Ralph Lauren VILLA Hverdagskjole DARRIS xF05R0w1qY(B|A)=P(B)P(A|B)=P(A). For å se hvorfor dette er korrekt er det naturlig å starte med P(A|B) og så benytte definisjonen av betinget sannsynlighet og multiplikasjonssetningen, P(ATights RAFFINESSE KUNERT KUNERT RAFFINESSE KUNERT Tights |B)=P(AB)P(B)=P(B|A)P(A)P(B). Dermed får vi at P(B|A)=P(B)P(A|B)=PKUNERT KUNERT Tights KUNERT RAFFINESSE Tights RAFFINESSE (B)P(A)P(B)=P(A), og den motsatte implikasjonen får man ved å ta utgangspunkt i P(B|A) og regne tilsvarende.

Overmateriale: 80% polyamid, 20% elastan Vedlikeholdsråd: Kan ikke tørkes i tørketrommel, Maskinvask på 30°C, Finvaskprogram